# KINH TẾ LƯỢNG BỘ MÔN PHÂN TÍCH DỮ LIỆU KINH TẾ KHOA TOÁN KINH TẾ # 2. MÔ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN 1. Phương pháp bình phương nhỏ nhất * Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến * Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) * Các tính chất của ước lượng OLS 2. Các giả thiết cơ bản của mô hình hồi quy hai biến * Các giả thiết cơ bản của phương pháp OLS * Các đặc trưng của hệ số ước lượng * Giải thiết về phân phối xác suất của Uᵢ 3. Khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy * Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy * Kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy ## §1. Phương pháp bình phương nhỏ nhất # 1.1 Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến $Y_i = \beta_1 + \beta_2X_i + U_i.$ (1) Trong đó : * $Y_i$ là giá trị của biến phụ thuộc Y. * $\beta_1$ là hệ số chặn. * $\beta_2$ là hệ số góc của biến giải thích. * $U_i$ là sai số ngẫu nhiên. Mô hình hồi quy mẫu xây dựng dựa trên mẫu ngẫu nhiên kích thước $n : \lbrace (Y_i, X_i), i = \overline{1, n} \rbrace$. $\hat{Y_i} = \hat{\beta_1} + \hat{\beta_2}X_i$ (2) Trong đó * $\hat{Y_i}$ là ước lượng của $Y_i$ hoặc $E(Y/X_i), i = \overline{1, n}$. * $\hat{\beta_j}$ là ước lượng của các hệ số hồi quy tổng thể $(j = \overline{1, 2})$. ## 1.2 Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS) Kí hiệu $e_i = Y_i - \hat{Y}_i$ là phần dư của hàm hồi quy mẫu. Phương pháp OLS đòi hỏi các hệ số hồi quy được xác định sao cho $\sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)^2 = f(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2) \longrightarrow \min$ (3) Các hệ số $\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$ thỏa mãn (3) gọi là ước lượng bình phương nhỏ nhất của $\beta_1, \beta_2$. Ta có $f(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2)$ nhỏ nhất khi $\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2$ là nghiệm hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial \hat{\beta}_1} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial \hat{\beta}_2} = 0 \end{array} \right.$ (4) $$ (4) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sum 2(Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)(-1) = 0 \\ \sum 2(Y_i - \hat{\beta}_1 - \hat{\beta}_2 X_i)(-X_i) = 0 \end{array} \right. $$ $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n\hat{\beta}_1 + (\sum X_i) \hat{\beta}_2 = \sum Y_i \\ (\sum X_i) \hat{\beta}_1 + (\sum X_i^2) \hat{\beta}_2 = \sum X_i Y_i. \end{array} \right. \quad (5) $$ Ta có, định thức $\Delta = \left| \begin{array}{ll} n & \sum X_i \\ \sum X_i & \sum X_i^2 \end{array} \right| = n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2 \neq 0.$ Đặt $\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum Y_i; \bar{X} = \frac{1}{n} \sum X_i$ và $x_i = X_i - \bar{X}; y_i = Y_i - \bar{Y}$, thì hệ (5) có nghiệm $$ \hat{\beta}_2 = \frac{n \sum Y_i X_i - (\sum Y_i)(\sum X_i)}{n \sum X_i^2 - (\sum X_i)^2} = \frac{\sum y_i x_i}{\sum x_i^2} \quad (6) $$ $$ \hat{\beta}_1 = \bar{Y} - \hat{\beta}_2 \bar{X}. \quad (7) $$ ## Ví dụ 2.1 Theo dõi thu nhập hàng tháng và mức chi về hàng thực phẩm của 8 gia đình có số thành viên như nhau, ta có số liệu sau (đơn vị: triệu đồng) ![page7_1](https://sotaagents-enhance.s3.ap-southeast-1.amazonaws.com/ocr/d7d7938c-4a49-44ce-8b70-2fa960c0c859/page-7/page7_1.png) > ### Image: Data Table of Paired Variable Values > > **Overview:** > The image displays a mathematical or statistical data table consisting of two horizontal rows and nine vertical columns. It represents a set of eight paired data points for two variables, likely an independent variable ($X_i$) and a dependent variable ($Y_i$). > > **Overall Structure:** > - The table is organized horizontally. > - The first column contains the variable labels. > - A vertical line separates the labels from the numeric data. > - A horizontal line separates the first row (X-values) from the second row (Y-values). > > **All Text Content (Labels):** > - **Row 1, Column 1:** $X_i$ (Uppercase 'X' with a lowercase 'i' subscript). > - **Row 2, Column 1:** $Y_i$ (Uppercase 'Y' with a lowercase 'i' subscript). > > **Complete Data Points (8 Pairs):** > > | Pair Index | $X_i$ Value (Top Row) | $Y_i$ Value (Bottom Row) | > | :--- | :--- | :--- | > | **1** | 1.2 | 0.9 | > | **2** | 3.1 | 1.2 | > | **3** | 5.3 | 1.8 | > | **4** | 7.4 | 2.2 | > | **5** | 9.6 | 2.6 | > | **6** | 11.8 | 2.9 | > | **7** | 14.5 | 3.3 | > | **8** | 18.7 | 3.8 | > > **Visual Elements:** > - **Typography:** The numbers and labels are rendered in a standard mathematical serif font (similar to LaTeX computer modern). > - **Separators:** > - A thin vertical black line follows the $X_i$ and $Y_i$ labels. > - A thin horizontal black line runs under the entire first row of numbers, extending from the left edge of the $X_i$ label to the end of the last data point (18.7). > - **Alignment:** Numbers are roughly center-aligned within their respective columns. > > **Relationships:** > - The table establishes a direct correlation between $X$ and $Y$. As $X_i$ increases from 1.2 to 18.7, $Y_i$ increases from 0.9 to 3.8, suggesting a positive linear or near-linear relationship. Xᵢ | 1.2 | 3.1 | 5.3 | 7.4 | 9.6 | 11.8 | 14.5 | 18.7 ---|---|---|---|---|---|---|---|--- Yᵢ | 0.9 | 1.2 | 1.8 | 2.2 | 2.6 | 2.9 | 3.3 | 3.8 Trong đó: Xᵢ : thu nhập hàng tháng của gia đình thứ i Yᵢ : mức chi cho hàng thực phẩm của gia đình thứ i. Dựa vào bảng số liệu trên và phương pháp OLS hãy xây dựng hàm hồi qui mẫu: Ŷᵢ = β̂₁ + β̂₂Xᵢ. ## Bảng kết quả ![page8_1](https://sotaagents-enhance.s3.ap-southeast-1.amazonaws.com/ocr/d7d7938c-4a49-44ce-8b70-2fa960c0c859/page-8/page8_1.png) > ### Image: Table of Statistical Data Calculations > > **Overview:** > This image is a black and white data table with 9 columns and 10 rows. It contains numerical data for a statistical analysis, specifically showing individual data points ($X_i, Y_i$), their deviations from the mean ($x_i, y_i$), squared deviations ($x_i^2, y_i^2$), and the cross-product of deviations ($x_iy_i$). The bottom row provides the summation ($\sum$) for each column. > > **Table Structure:** > - The header row contains mathematical symbols for each column. > - Rows 1 through 8 are indexed data points. > - The 9th row is the summation row. > - Vertical lines separate every column. > - Horizontal lines separate the header from the data, the individual rows (using dashed lines), and the summation row from the data. > > **Complete Data Points (extracted by row):** > > | $i$ | $X_i$ | $Y_i$ | $x_i$ | $x_i^2$ | $y_i$ | $y_i^2$ | $x_iy_i$ | > | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | > | **1** | 1.20 | 0.90 | -7.75 | 60.06 | -1.44 | 2.07 | 11.14 | > | **2** | 3.10 | 1.20 | -5.85 | 34.22 | -1.14 | 1.29 | 6.65 | > | **3** | 5.30 | 1.80 | -3.65 | 13.32 | -0.54 | 0.29 | 1.96 | > | **4** | 7.40 | 2.20 | -1.55 | 2.40 | -0.14 | 0.02 | 0.21 | > | **5** | 9.60 | 2.60 | 0.65 | 0.42 | 0.26 | 0.07 | 0.17 | > | **6** | 11.80 | 2.90 | 2.85 | 8.12 | 0.56 | 0.32 | 1.60 | > | **7** | 14.50 | 3.30 | 5.55 | 30.80 | 0.96 | 0.93 | 5.34 | > | **8** | 18.70 | 3.80 | 9.75 | 95.06 | 1.46 | 2.14 | 14.26 | > | **$\sum$** | 71.60 | 18.70 | 0.00 | 244.42 | 0.00 | 7.12 | 41.35 | > > **Visual Details and Formatting:** > - **Header Symbols:** > - $i$: Index/serial number. > - $X_i$: Independent variable values. > - $Y_i$: Dependent variable values. > - $x_i$: Deviation of $X$ ($X_i - \bar{X}$). > - $x_i^2$: Square of the deviation of $X$. > - $y_i$: Deviation of $Y$ ($Y_i - \bar{Y}$). > - $y_i^2$: Square of the deviation of $Y$. > - $x_iy_i$: Product of the deviations. > - **Summation Symbol:** The Greek letter sigma ($\sum$) is used in the bottom-left cell to designate column totals. > - **Line Styles:** > - Solid black border around the entire table. > - Solid horizontal line under the header row. > - Dashed horizontal lines separating data rows 1 through 8. > - Solid horizontal line above the summation row. > - Solid vertical lines between all columns. > - **Numbers:** All numerical values are aligned centrally within their respective cells. Values are reported with two decimal places (e.g., "1.20", "0.00", "244.42"). > - **Negative Signs:** Clear hyphen-style negative signs precede values in the $x_i$ and $y_i$ columns for the first four rows. > > **Key Statistical Observations (per the data):** > - The sum of deviations ($x_i$ and $y_i$) equals $0.00$, confirming they are calculated relative to the mean. > - The sum of $x_i^2$ is $244.42$. > - The sum of $y_i^2$ is $7.12$. > - The sum of $x_iy_i$ is $41.35$. Từ đó $\bar{X} = 8.95$ và $\bar{Y} = 2.34$, khi đó $\hat{\beta_2} = \frac{\sum y_ix_i}{\sum x^2_i} = \frac{41.35}{244.42} = 0.169$ $\hat{\beta_1} = \bar{Y} - \hat{\beta_2}\bar{X} = 2.34 - 0.169 * 8.95 = 0.827$ Khi đó, hàm hồi quy mẫu $\hat{Y_i} = 0.827 + 0.169X_i$ ### Ý nghĩa hệ số hồi quy: $\hat{\beta_2} = 0.169$ phản ánh là khi thu nhập của gia đình tăng thêm 1 triệu đồng thì mức chi trung bình hàng tháng cho hanhg thực phẩm tăng lên 169 ngàn đồng. # 1.3 Các tính chất của ước lượng OLS - Đường hồi quy mẫu đi qua điểm trung bình $(\bar{X}, \bar{Y})$, tức là $\bar{Y} = \hat{\beta}_{1} + \hat{\beta}_{2}\bar{X}$ - Giá trị trung bình của các giá trị $\bar{Y}$ được xác định theo hàm hồi quy mẫu bằng giá trị trung bình của biến phụ thuộc, tức là $\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum \hat{Y}_{i} = \bar{Y}$ - Tổng các phần dư của hàm hồi quy mẫu bằng 0, tức là $\sum e_{i} = 0$ - Các phần dư $e_{i}$ không tương quan với $X_{i}$, tức là $\sum e_{i}X_{i} = 0$ - Các phần dư $e_{i}$ không tương quan với $\hat{Y}_{i}$, tức là $\sum e_{i}\hat{Y}_{i} = 0$ ## Các giả thiết cơ bản của mô hình hồi quy hai biến # 2.1 Các giả thiết cơ bản của phương pháp OLS > Giả thiết 1 > Biến giải thích X là phi ngẫu nhiên, giá trị của nó là xác định. > Giả thiết 2 > Kì vọng toán của các sai số ngẫu nhiên _U_i_ bằng 0, tức là > > _E_(_U_i_) = _E_(_U_i_ /_X_i_) = 0 > Giả thiết 3 > Phương sai của các sai số _U_i_ là không đổi (phương sai thuần nhất) > > _Var_(_U_i_) = _Var_(_U_i_ /_X_i_) = _σ_², ∀_i_ > > Từ giả thiết 3, ta cũng được _Var_(_Y_i_ /_X_i_) = _σ_², ∀_i_ > Giả thuyết 4 > Các sai số $U_i$ không tương quan với nhau > $Cov(U_i, U_j) = 0, \forall i \ne j.$ > Giả thuyết 5 > Các sai số $U_i$ và $X_i$ không tương quan với nhau > $Cov(U_i, X_i) = 0, \forall i$ ## 2.2 Các đặc trưng của hệ số ước lượng Với các giả thiết 1-5 thỏa mãn, ta có $Var(\hat{\beta}_2) = \frac{\sigma^2}{\sum X_i^2}$ (8) $Var(\hat{\beta}_1) = \frac{\sigma^2 \sum X_i^2}{n \sum X_i^2}$ (9) Các độ lệch chuẩn của các hệ số hồi quy mẫu $se(\hat{\beta}_2) = \sqrt{\frac{\sigma^2}{\sum X_i^2}} = \frac{\sigma}{\sqrt{\sum X_i^2}}$ (10) $se(\hat{\beta}_1) = \sqrt{\frac{\sigma^2 \sum X_i^2}{n \sum X_i^2}} = \sigma \sqrt{\frac{\sum X_i^2}{n \sum X_i^2}}$ (11) Do $Var(U_i) = \sigma^2$ chưa biết, ta thường lấy ước lượng không chệch của nó là $\sigma^2 \approx \hat{\sigma}^2 = \frac{\sum e_i^2}{}$ (12) # Định lí Gauss - Markov Với các giả thiết của phương pháp OLS thì các ước lượng OLS $\hat{\beta}_j$ là các ước lượng tuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏ nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính, không chệch của $\hat{\beta}_j (j = \overline{1, 2})$. Cụ thể, ta có $\hat{\beta}_2 = \sum_{i=1}^{n} k_i Y_i, k_i = const$ và $E(\hat{\beta}_2) = \beta_2$. Với $\hat{\beta}_2^*$ là ước lượng tuyến tính, không chệch bất kì của $\beta_2$, ta có $Var(\hat{\beta}_2) = \frac{\sigma^2}{\sum x_i^2} \leq Var(\hat{\beta}_2^*)$ ## 2.3 Giải thiết về phân phối xác suất của Ui > **Giả thiết 6** > Sai số ngẫu nhiên U$_i$ có phân phối chuẩn, tức là > > U$_i$ ~ N(0; σ²) Với các giả thiết 1-6 mô hình hồi quy hai biến (1) được gọi là mô hình hồi quy hai biến cổ điển. 1. β̌$_1$ ~ N(β$_1$, Var(β̌$_1$)) 2. β̌$_2$ ~ N(β$_2$, Var(β̌$_2$)) 3. x² = $\frac{(\text{n-2)σ̌²}}{\sigma²}$ ~ x²(n-2) 4. Y$_i$ ~ N(β$_1$ + β$_2$X$_i$, σ²) 5. Các ước lượng OLS β̌$_1$, β̌$_2$ của β$_1$, β$_2$ là các ước lượng hiệu quả. # §3. Khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy # 3.1 Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy Từ giả thiết 6, ta có $\hat\beta_j \sim N(\beta_j, Var(\hat\beta_j))$, nên $T = \frac{\hat\beta_j - \beta_j}{se(\hat\beta_j)} \sim T^{(n-2)}, \forall j = \overline{1,2}.$ Từ đó, ta có $P \left( \left| \frac{\hat\beta_j - \beta_j}{se(\hat\beta_j)} \right| < t_{\frac{\alpha}{2}}^{(n-2)} \right) = 1 - \alpha.$ $P \left( \hat\beta_j - t_{\frac{\alpha}{2}}^{(n-2)}.se(\hat\beta_j) < \beta_j < \hat\beta_j + t_{\frac{\alpha}{2}}^{(n-2)}.se(\hat\beta_j) \right) = 1 - \alpha = \gamma$ Khoảng tin cậy của hệ số hồi quy $\beta_j$ là $\left( \hat\beta_j - t_{\frac{\alpha}{2}}^{(n-2)}.se(\hat\beta_j); \hat\beta_j + t_{\frac{\alpha}{2}}^{(n-2)}.se(\hat\beta_j) \right)$ ## 3.2 Kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy Với mức ý nghĩa α cho trước cần kiểm định giả thuyết $$ \begin{cases} H_0: \beta_j = \beta_j^* \\ H_1: \beta_j \neq \beta_j^* (\beta_j > \beta_j^*, \beta_j < \beta_j^*) \end{cases} $$ Ta xây dựng TCKD $$ T = \frac{\hat{\beta}_j - \beta_j^*}{se(\hat{\beta}_j)} $$ Nếu $H_0$ đúng thì $T \sim T^{(n-2)}$.

Training Outputs

Training Outputs